D-Waveマシン(QA)の使い方

何に使われているの？

「量子アニーリングって、本当に使えるの？」そう思うかもしれません。実は、すでに様々な分野で実証実験や実用化が進んでいます。実用化されている例を簡単に示します。

分野	課題の例	量子アニーリングの効果
物流・交通	トラックの配送ルート、渋滞解消	走行距離の短縮、CO2削減、配送時間の短縮
金融	投資ポートフォリオの作成	リスクを最小限に抑えつつ、利益を最大化する組み合わせを発見
広告	Web広告の配信	どのユーザーにどの広告を出せばクリック率が最大になるか瞬時に判断

実践：巡回セールスマン問題と数式

ここからは、実際に物流現場の課題 「巡回セールスマン問題（TSP）」 を解いてみます。「4つの都市（0, 1, 2, 3）を1回ずつ回って、最短距離で帰ってくるルート」を見つける問題です。

🔑 QAは「QUBO」しか読めない

コードを書く前に、ひとつだけ重要なルールがあります。量子アニーリングマシンは、どんな複雑な問題でも 「QUBO（キューボ）」 と呼ばれる以下の数式形式に変換しないと理解できません。

QUBO: Quadratic Unconstrained Binary Optimization（二次制約なし二値最適化）

H = \sum_{i,j} Q_{ij} x_i x_j

難しい式に見えますが、要するに 「変数 $x$ 同士の掛け算（二次式）と足し算だけで書いてね」 というルールです。（※ $x$ は 0 か 1 の値しか取れません）

例えば、「必ず1つ選ぶ」という制約を表すには $(x_1 + x_2 + x_3 - 1)^2$ という式を使いますが、これをマシンに渡すには $x_1^2 + x_2^2 + \dots + 2x_1x_2 \dots$ のように展開して計算する必要があります。

📝 問題をどうやってビット(0/1)で表す？

「ルートの順番」のような複雑なものを、どうやって0と1だけで表すのでしょうか？ここでは 「都市 × 順番」の表（行列） を用意して考えます。（※今回は4都市なので $4 \times 4 = 16$ 個の量子ビットを使います）

	1番目	2番目	3番目	…
都市0	$x_{0,0}$	$x_{0,1}$	$x_{0,2}$	…
都市1	$x_{1,0}$	$x_{1,1}$	$x_{1,2}$	…
都市2	$x_{2,0}$	$x_{2,1}$	$x_{2,2}$	…
…	…	…	…	…

もし「都市1 → 都市2 → 都市0 …」の順に進むなら、対応する場所を 1 にします。

	1番目	2番目	3番目	…
都市0	0	0	1	…
都市1	1	0	0	…
都市2	0	1	0	…

このように表現するとき、絶対に守らなければならない 2つの制約（One-hot制約） があります。

縦の制約: 「ある順番（例：1番目）に行ける都市は1つだけ」
- 縦に足し算して合計が1になればOK。
横の制約: 「ある都市（例：都市0）に行く回数は1回だけ」
- 横に足し算して合計が1になればOK。

📐 数式でルールを書く（QUBOの定式化）

表（ビット）の用意ができたら、次は「距離を短くしたい」「制約を守りたい」というルールを数式にします。

巡回セールスマン問題の定式化

まず、巡回セールスマン問題を定式化していきます。今回は距離を最小化するので目的関数は以下のようになります。

\begin{align*} H_{\text{距離}} = \sum_{t=0}^{3} \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} d_{ij} x_{i,t} x_{j,t+1} \end{align*}

次に最適化する上での制約を示します。今回は縦方向と横方向でそれぞれ選ぶ方向を1つにする制約です。制約式としては同じ構造のため、縦方向の制約のみ示します。

\begin{align*} P \sum_{t=0}^{3} \sum_{i=0}^{3} x_{i,t} = 1 \end{align*}

定式化したものをQUBO化する

これが QUBO の中身であり、これから書くPythonコードの設計図になります。

ハミルトニアンは、以下の2つの足し算でできています。

H = H_{\text{距離}} + H_{\text{制約}}

1. 距離のルール（目的関数）

「隣り合う都市間の距離を足し合わせる」という式です。「時刻 $t$ に都市 $i$ にいて、時刻 $t+1$ に都市 $j$ にいる場合（つまり $x_{i,t}$ と $x_{j,t+1}$ が共に 1 の時）」だけ、その距離 $d_{ij}$ を足します。

\begin{align*} H_{\text{距離}} = \sum_{t=0}^{3} \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} d_{ij} x_{i,t} x_{j,t+1} \end{align*}

この式が最小になる＝総距離が最小になる、ということです。

2. 制約のルール（ペナルティ関数）

ここが量子アニーリングの面白いところです。「ルールを破ったら罰点（エネルギー）を増やす」という方法で、マシンにルールを教えます。これを ペナルティ法 と呼びます。また、QUBOは2時である必要があります。

今回は「合計が必ず1になる」という制約なので、「(縦方向の合計 - 1) の2乗」 というテクニックを使います。横方向でも同様です。

合計が 1 のとき： $(1 - 1)^2 = 0$ （ペナルティなし 👍）
合計が 0 のとき： $(0 - 1)^2 = 1$ （ペナルティ発生 ⚠️）
合計が 2 のとき： $(2 - 1)^2 = 1$ （ペナルティ発生 ⚠️）

これを「縦」と「横」の両方に適用します。

\begin{align*} H_{\text{制約}} = P \sum_{t=0}^{3} \left( \sum_{i=0}^{3} x_{i,t} - 1 \right)^2 + P \sum_{i=0}^{3} \left( \sum_{t=0}^{3} x_{i,t} - 1 \right)^2 \end{align*}

※ $P$ は「ペナルティの重さ」です。この値を距離よりも十分大きく設定することで、マシンは「距離を短くするよりも、まずはルールを守ること（ペナルティを0にすること）」を最優先するようになります。

これをPythonで記述し、D-Waveの実機（QPU）で1000回実験してみましょう。

💻 コード：配送ルート最適化

# 必要なライブラリ:
# pip install dwave-ocean-sdk numpy

import numpy as np
from dwave.system.samplers import DWaveSampler
from dwave.system.composites import EmbeddingComposite

# ==========================================
# 1. データの準備
# ==========================================
distance_matrix = np.array([
    [0,  10, 20, 15],
    [10, 0,  15, 30],
    [20, 15, 0,  10],
    [15, 30, 10, 0]
])
num_cities = 4
num_vars = 16       # 4x4
penalty_strength = 50.0

# ==========================================
# 2. QUBO行列の作成 (NumPyで直書き)
# ==========================================
Q_mat = np.zeros((num_vars, num_vars))

# --- 目的関数 (総距離) ---
for t in range(num_cities):
    next_t = (t + 1) % num_cities # 次の時刻（最後は0に戻る）

    for c1 in range(num_cities):
        for c2 in range(num_cities):
            if c1 != c2:
                d = distance_matrix[c1][c2]

                # インデックス計算
                u = c1 * num_cities + t
                v = c2 * num_cities + next_t

                # ★重要: ここだけは u > v になる可能性があるので
                # 小さい方を行(i)、大きい方を列(j)にして上三角に統一する
                i, j = min(u, v), max(u, v)

                Q_mat[i][j] += d

# --- 縦の制約 ---
# 「ある順番(t)には、1つの都市しか選べない」
for t in range(num_cities):
    for c1 in range(num_cities):
        # インデックス計算: 行番号 * 列数 + 列番号
        idx1 = c1 * num_cities + t

        # 対角成分: -P
        Q_mat[idx1][idx1] -= penalty_strength

        for c2 in range(c1 + 1, num_cities):
            idx2 = c2 * num_cities + t

            # 非対角成分: +2P
            # ループの構造上、必ず idx1 < idx2 になるためそのまま代入
            Q_mat[idx1][idx2] += 2 * penalty_strength

# --- 横の制約  ---
# 「ある都市(c)は、1回しか訪問できない」
for c in range(num_cities):
    for t1 in range(num_cities):
        idx1 = c * num_cities + t1

        # 対角成分: -P
        Q_mat[idx1][idx1] -= penalty_strength

        for t2 in range(t1 + 1, num_cities):
            idx2 = c * num_cities + t2

            # 非対角成分: +2P
            # ここもループ構造上 idx1 < idx2 なのでそのまま代入
            Q_mat[idx1][idx2] += 2 * penalty_strength

# ==========================================
# 3. 辞書へ変換 & 実行
# ==========================================
# 行列(np.array) から D-Wave用の 辞書(dict) へ変換
# 0でない要素だけを取り出す
Q_dict = {
    (i, j): Q_mat[i][j]
    for i in range(num_vars)
    for j in range(i, num_vars)
    if Q_mat[i][j] != 0
}

# --- 実行設定 ---
token = 'xxxx' # ここはご自身のD-Wave APIトークンに置き換えてください
sampler = EmbeddingComposite(DWaveSampler(token=token))

print("量子アニーリングを実行中...")
sampleset = sampler.sample_qubo(Q_dict, num_reads=1000)

best_sample = sampleset.first.sample

# ==========================================
# 4. 結果表示
# ==========================================
print("\n--- 結果解析 ---")
active_vars = [k for k, v in best_sample.items() if v == 1]

# ルート復元
route = [-1] * num_cities
for idx in active_vars:
    route[idx % num_cities] = idx // num_cities

# 結果チェック
if -1 not in route and len(set(route)) == num_cities:
    print("制約OK! 最適ルート:", route)

    total_dist = 0
    for i in range(num_cities):
        u, v = route[i], route[(i+1)%num_cities]
        dist = distance_matrix[u][v]
        total_dist += dist
        print(f"{u} -> {v}: {dist}km")
    print(f"総距離: {total_dist} km")
else:
    print("制約違反あり。パラメータ調整が必要です。")

実行結果

このコードを実行すると、16個の量子ビットが相互に作用し合い、ルール（制約）を守りつつ、最も距離が短いルートをマシンが導き出してくれます。

出力例：

量子プロセッサでアニーリングを実行中...

--- 結果解析 ---
制約OK! 最適ルート: [2, 3, 0, 1]
2 -> 3: 10km
3 -> 0: 15km
0 -> 1: 10km
1 -> 2: 15km
総距離: 50 km

※確率的な手法のため、実行するたびにルートの始点が異なる場合がありますが、総距離が最短であることは変わりません。

次世代の計算機は、もう手の中に！

この記事を通して、量子アニーリングの正体が見えてきたでしょうか？

最後に、重要なポイントを3つだけ持ち帰ってください。

QAは「計算」ではなく「自然現象」を使う。 コンピュータが必死に計算して山を登るのではなく、量子の力（トンネル効果）で壁をすり抜けて、自然と一番良い答え（谷底）に落ち着くのを待つ技術です。
プログラミングは「地図作り」。 難しい命令を書く必要はありません。私たちがやるべきことは、「ここは相性がいい（谷）」「ここはダメ（山）」という 「地図（ルール）」を作ることだけ。あとは自然法則が勝手に答えを出してくれます。
「未来の話」ではなく「今日使える技術」。 かつて、大規模な最適化問題を解くには巨大な計算資源が必要でした。しかし今は、たった数行のPythonコードで、この量子アニーリングの力をあなたのPCから呼び出せる時代です。

もし日常や仕事の中で「これ、組み合わせが多すぎて決められない！」という壁にぶつかったら。その時こそ、量子アニーリングの出番かもしれません!

参考文献・リンク

この記事のコードや解説は、以下の公式ドキュメントおよび研究を参考にしています。

📚 公式ドキュメント・ツール

D-Wave Ocean SDK Documentation
- https://docs.ocean.dwavesys.com/
D-Wave Leap
- https://cloud.dwavesys.com/leap/
- 実機（QPU）を利用するためのクラウドプラットフォームです。

🎓 基礎理論・論文

Kadowaki, T., & Nishimori, H. (1998). “Quantum annealing in the transverse Ising model”
- Phys. Rev. E, 58(5), 5355.
- 量子アニーリングの概念を世界で初めて提唱した論文です。
J. Lucas (2014). “Ising formulations of many NP problems”
- Frontiers in Physics, 2, 5.
- TSPを含む様々な問題をどうやって定式化するかをまとめた論文です。